Test równości wielu wskaźników struktury

Testowanie równości wielu wskaźników struktury sprowadza się do wykorzystania testu niezależności $\chi^2$, w którym za pierwszą zmienną przyjmujemy zmienną binarną (1-element wyróżniony, 2-element niewyróżniony), a za drugą zmienną numer populacji, z której pobrano próbę. Stwierdzenie zależności pomiędzy tymi cechami jest równoważne ze stwierdzeniem występowania istotnych różnic w strukturach procentowych wyróżnionych elementów w badanych zbiorowościach (przynajmniej dwóch).

Przykład – wiek matki a umieralność noworodków

Tabela przedstawia zestawienie danych liczbowych dla Polski z 2010 roku dotyczące liczby urodzeń martwych w zależności od wieku matki. Dane pochodzą z publikacji Instytutu Matki i Dziecka: http://www.imid.med.pl/klient1/uploads/media/raport_uo_2011.pdf

	Wiek matki	Urodzenia ogółem	Urodzenia martwe
			liczba	odsetek
	15-19	18491	96	0,52%
	20-24	80137	303	0,38%
	25-29	153226	515	0,34%
	30-34	113834	465	0,41%
	35-39	41779	279	0,67%
	40-44	7200	64	0,89%
	45 i więcej	303	7	2,31%

Czy na podstawie zgromadzonych danych możemy zaprzeczyć hipotezie, że wiek matki nie ma wpływu na prawdopodobieństwo urodzenia martwego dziecka? Innymi słowy, czy istnieją istotne różnice w odsetkach martwych urodzeń u kobiet w różnych przedziałach wiekowych?

Aby odpowiedzieć na postawione pytania wykonamy test weryfikujący hipotezę:

$H_0: p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=p_7$

wobec hipotezy alternatywnej:

$H_1: \exists i,j\in\{1,2,\dots,7\}~p_i\neq p_j$.

W celu wykonania testu $\chi^2$ stwórzmy tabelę liczności obserwowanych oraz teoretycznych. Tabela powinna zawierać informacje odnośnie liczby noworodków, które urodziły się martwe oraz liczby noworodków, które urodziły się żywe.

Liczności teoretyczne obliczamy, mnożąc przez siebie odpowiednie liczności brzegowe, a następnie dzieląc wynik przez liczność skumulowaną $(n=414970)$. Przykładowo, liczność teoretyczną martwych urodzeń wśród matek mających od 15 do 19 lat obliczamy:

$n_{martwe,15-19} = \frac{18491 \cdot 1729}{414970} \approx 77,0$.

W analogiczny sposób obliczamy pozostałe liczności teoretyczne, otrzymując wyniki:

 

Dla zebranych danych wartość statystyki testowej $\chi^2$ obliczamy następująco: 

$\chi^2 = \sum\limits_{i=1}^7 \sum\limits_{j=1}^2 \frac{(obserwowana - teoretyczna)^2}{teoretyczna}$.

Przyjmie ona wartość:

$\chi^2 \approx 160,1$.

W teście $\chi^2$ mamy prawostronny obszar krytyczny. Korzystając z tablic tego rozkładu dla 6 stopni swobody oraz $\alpha=0,001$ wyznaczamy zbiór krytyczny postaci $[22,46,\infty)$. Obliczona wartość statystyki testowej mieści się w tym przedziale, a zatem możemy stwierdzić, że wskaźniki struktury martwych urodzeń względem wieku matki różnią się istotnie.

Innymi słowy, wiek matki ma istotny wpływ na prawdopodobieństwo urodzenia martwego dziecka.