Test ten służy weryfikacji hipotezy o równości wartości przeciętnej $\mu$ konkretnej liczbie $\mu_0$ . A zatem stawiamy hipotezę:

 $H_0:\mu =\mu_0$

wobec jednej z hipotez alternatywnych:

 $H_1:\hspace{1cm} 1.\mbox{ } \mu\neq\mu_0 \hspace{2cm} 2. \mbox{ }\mu>\mu_0 \hspace{2cm} 3. \mbox{ }\mu<\mu_0$

W przypadku tego testu statystyki testowe dobieramy ze względu na liczność próby n.

Mała próba (n<30)

W teście t-Studenta dla wartości przeciętnej wykorzystujemy statystykę:

 $t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n-1}$

gdzie:

$\bar{X}$ - średnia z próby
$S$ - odchylenie standardowe z próby

Statystyka $t$ przy założeniu prawdziwości $H_0$ ma rozkład t-Studenta o $n-1$ stopniach swobody.

W zależności od tego jaką postawiliśmy hipotezę alternatywną, obszar krytyczny dla ustalonego $\alpha$ konstruujemy w następujący sposób:

Odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta wartość , która spełnia relację:
```
 $P(-t_{\alpha/2} t \lt t_{\alpha/2})=1-\alpha \lt t \lt t_{\alpha})=1-\alpha$ 
```
Równość tę możemy interpretować następująco: prawdopodobieństwo, że wartość statystyki $t$ , jeśli hipoteza $H_0$ jest słuszna, będzie leżała w obszarze $\left( -\infty,-t_{\alpha/2}\right]\cup \left[ t_{\alpha/2},\infty\right)$ wynosi $\alpha$ . A zatem jeśli pobierzemy próbę i okaże się, że obliczona z tej próby wartość statystyki $t$ należy do obszaru krytycznego to stwierdzamy, że zaszło zdarzenie, któremu towarzyszyło nikłe prawdopodobieństwo (rzędu wielkości $\alpha$ ). Odrzucamy wtedy założenie o prawdziwości hipotezy $H_0$ i przyjmujemy hipotezę $H_1$ .
Znajdujemy kwantyl, który spełnia relację
```
 $P(t$  \lt  $t_{\alpha})=1-\alpha$ 
```
Obszar krytyczny w tym przypadku będzie obszarem prawostronnym $\left[ t_{\alpha},\infty\right)$ .
W tej sytuacji mamy lewostronny obszar krytyczny $\left( -\infty, t_{\alpha}\right]$ .

Duża próba

Jeśli mamy do czynienia z dużą próbą, możemy zwiększyć moc testu, korzystając ze statystyki danej wzorem:

 $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}$

Przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ statystyka Z ma rozkład normalny standardowy.

Obszary krytyczne w tym przypadku konstruujemy analogicznie jak dla małych prób, z tą różnicą, że w miejsce kwantyli rozkładu t-studenta wstawiamy kwantyle rozkładu $\mathcal{N}(0,1)$ . Stąd mamy:

 $(-\infty,-\mu_{\alpha/2}]\cup [\mu_{\alpha/2},\infty)$

 $[\mu_{\alpha/2},\infty)$

 $(-\infty,-\mu_{\alpha/2}]$

Przykład dla małej próby (n < 30):

Na podstawie 12-elementowej próby prostej oszacowano średni czas reakcji na lek przeciwbólowy na poziomie 28 min z odchyleniem standardowym wynoszącym 3 minuty. Chcemy na poziomie istotności $\alpha = 0,05$ zweryfikować hipotezę, że w populacji przeciętny czas reakcji na lek wynosi 30 minut, przy założeniu, że czas reakcji ma rozkład $N(m, \sigma)$ .
Hipotezy w tym wypadku będą wyglądały następująco:

 $H_0 : m=30min$

 $H_1 : m \neq 30min$

Statystykę testową $t$ obliczamy wykorzystując wzór dla małej próby:

 $t = \frac{28-30}{3} \sqrt{12-1} = -2,211$

Dla $\alpha = 0,05$ odczytujemy z tablicy t-Studenta dwustronny obszar krytyczny o $n − 1$ stopniach swobody $(\infty ; -2,201 ] \cup [2,201 ; \infty)$ .
Wartość statystyki testowej wpada w lewostronny obszar krytyczny zatem odrzucamy hipotezę zerową mówiącą, że przeciętny czas reakcji pacjenta na lek jest równy 30 minut.

dr Marian Płaszczyca

Head of Statistics & IT

BioStat^® sp. z o.o.

(+48) 666069834

statystyka@biostat.com.pl

Pomóż nam rozwijać serwis z materiałami edukacyjnymi. Polub nas na Facebook.