Estymator

Jest to statystyka (pojęcie z dziedziny statystyki matematycznej, w skrócie mierzalna funkcja określona na przestrzeni statystycznej) wykorzystywana do oszacowania parametrów populacji (średnia wartość cechy). Źródłem wykorzystywanym do stworzenia estymatora są wyniki dotyczące badanej cechy zebrane w próbie statystycznej. Metodę konstrukcji estymatorów nazywa się estymacją. Podstawową miarą dobroci estymatora jest jego obciążenie, czyli różnica pomiędzy wartością oczekiwaną estymatora a estymowanym parametrem. Związane jest z tym pojęcie nieobciążoności estymatora.

A jaka jest praktyczniejsza definicja estymatora? Rozważmy wspominane już wcześniej badanie sosen w lesie (również wspomnianemu wcześniej losowaniu Dużego Lotka estymacja nie jest potrzebna, tam od początku wszystko wiemy o populacji). Chcemy wiedzieć, jaka jest średnia wysokość sosny i jakie jest zróżnicowanie tej wysokości (które mierzymy odchyleniem standardowym) w lesie. Żeby odpowiedzieć na to pytanie wylosowaliśmy próbę sosen (i uważamy, że dobrze skonstruowaliśmy model losowania, czyli wylosowane drzewa są dobrą reprezentacją całej populacji sosen pod względem wysokości). Pozostał do zrobienia jeden krok: przeniesienie wyników z naszej próby na całą populację sosen. Ten krok właśnie wykonuje się korzystając z odpowiedniego estymatora.

Estymatorów jest wiele. Ich liczba wynika nie tylko z tego, że możemy chcieć przybliżać różne parametry cechy w populacji (średnia, odchylenie standardowe, itd.) ale również od sposobu losowania. Dobór celowy przemilczmy, trudno tutaj mówić o jakiejkolwiek estymacji. Prowadząc badanie, którego elementem jest losowanie trzeba więc posiadać wiedzę o tym, jakiego estymatora trzeba użyć, by prawidłowo oszacować badany przez nas parametr, uwzględniając przy tym wybrany przez nas sposób losowania.

Średnia i odchylenie standardowe z próby

Rozważmy najprostszą sytuację, tzn. wspomniane wcześniej sosny wylosowaliśmy losowaniem prostym bez zwracania. Chcemy poznać średnią wysokość sosen. Estymatorem, który umożliwi nam oszacowanie intersującej nas wartości jest dobrze znana wszystkich ze szkoły średnia. Czyli, jeżeli $x_1,\ldots, x_n$  to wysokości $n$ zmierzonych przez nas drzew wtedy estymatorem średniej wysokości jest statystyka

$\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10} x_i$

Przenosząc się na konkretne liczby, jeżeli zaobserwowane przez nas dziesięć wartości to 13m, 14m, 15m, 17m, 8m, 23m, 22m, 15m, 14m i 19m to wartość estymatora jest równa

$\frac{1}{10} \left( 13m+14m+15m+17m+8m+23m+22m+15m+14m+19m\right) = 16m$

Przeciętna sosna w badanym przez nas lesie ma więc 16m (bo taką wartość przyjął estymator). Pojawia się tu jednak inny problem: minimalna liczebność próby. Wracając do głównego wątku, jeżeli stosujemy losowanie proste bez zwracania i interesuje nas wartość średnia pewnej cechy w badanej populacji to jej oszacowanie nie stanowi większego problemu, korzystamy ze zwykłej średniej arytmetycznej.