Korelacja

Korelacje mierzą stopień związku pomiędzy zmiennymi liczbowymi lub jakościowymi, które można uporządkować. Współczynniki korelacji mogą przyjmować wartości z przedziału $[-1,1]$. Korelacja dodatnia oznacza, że wraz z wzrostem wartości jednej cechy następuje wzrost wartości drugiej, przy czym współczynnik korelacji przyjmujący wartość 1 oznacza najsilniejszą korelację dodatnią. Natomiast korelację ujemną możemy interpretować, że wraz z wzrostem wartości jednej cechy następuje spadek wartości drugiej. Współczynnik korelacji równy -1 oznacza najsilniejszą korelację ujemną. Wartość współczynnika równa 0 oznacza, że zmienne nie są ze sobą w żaden sposób powiązane.

Współczynnik korelazji liniowej pearsona

Współczynnik ten mierzy siłę związku liniowego pomiędzy dwiema cechami mierzalnymi $X$ i $Y$. Liniowy związek oznacza, że wzrost wartości jednej z cech implikuje proporcjonalne zmiany średnich wartości drugiej cechy (wzrost lub spadek).

Współczynnik ten obliczamy według wzoru:

$r=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{nS_xS_y}$,

gdzie $n$ jest licznością próby, $(x_i,y_i)~(i=1,\dots,n)$ kolejnymi obserwacjami powiązanych zmiennych $X$ i $Y$, a $S_x, S_y$ odchyleniami standardowymi w pobranych próbach.

test dla współczynnika korelacji

Istotność korelacji wyliczonej na podstawie próby weryfikujemy za pomocą testu statystycznego dla współczynnika korelacji.

W teście tym stawiamy hipotezę:

$H_0: r_{pop}=0$

wobec jednej z hipotez alternatywnych:

$H_1:~(a)~r_{pop} \neq 0,~~~(b)~r_{pop} > 0,~~~(c)~r_{pop} < 0$,

które mówią, że współczynnik korelacji w populacji generalnej jest istotnie (a) różny od 0, (b) większy od 0, (c) mniejszy od 0.

Statystykę testową obliczamy według wzoru:

$t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$.

Przy założeniu niezależności zmiennych $X$ i $Y$ statystyka ta ma rozkład studenta o $n-2$ stopniach swobody.

W zależności od wyboru hipotezy alternatywnej otrzymujemy (a) obusyronny, (b) prawostronny lub (c) lewostronny obszar krytyczny.