Analiza przeżycia Kaplana-Meiera

W wielu badaniach (zwłaszcza klinicznych) analizujemy czas, jaki upłynie od pewnego zdarzenia np. przeprowadzenia operacji, rozpoczęcia terapii do momentu, w którym wystąpi niepowodzenie, np. zgon pacjenta.

Wykonując analizę przeżycia, rozpatrujemy dwa rodzaje danych:

1. Wystąpiło niepowodzenie (np. zgon pacjenta)
2. W trakcie trwania obserwacji nie nastąpiło niepowodzenie – takie przypadki traktujemy jako obserwacje ucięte.

Opierając się na tych informacjach oraz analizując długość czasu obserwacji (uciętej lub zakończonej niepowodzeniem) szacujemy parametry funkcji przeżycia.

Estymator funkcji przeżycia po raz pierwszy zaproponowany został przez E. L. Kaplana i P. Meyera w 1958 roku. Oszacowanie to wyraża się wzorem:

$S(t)=\prod_{j\leq t} (1-\frac{m_j}{n_j})$,

gdzie:

• $m_j$ - liczba „niepowodzeń” w j-tym okresie,
• $n_j$ - liczbą wszystkich narażonych w j-tym okresie.

Estymator ten wyraża prawdopodobieństwo przeżycia $t$ okresów, gdzie $t=1,2, ...,k$ i k-ty okres jest ostatnim okresem obserwacji.

Przez okres rozumieć możemy dowolną jednostkę czasu przyjętą przez badacza w zależności od rodzaju prowadzonej obserwacji. Może to być np. godzina, doba, miesiąc, rok, itd.

Przykład:

Rozpatrzmy grupę 20 pacjentów z rozpoznaniem nowotworu, leczonych z powodu przerzutów guzów litych do kości. Jako początek obserwacji przyjmujemy dzień rozpoczęcia terapii pewnym preparatem. Jako niepowodzenie traktować będziemy każde ciężkie zdarzenie niepożądane takie jak progresja choroby czy zgon pacjenta spowodowany nowotworem. Badanie prowadzono przez okres 12 m-cy.

Uwaga:

Jeśli zgon pacjenta nastąpi z innych przyczyn, np. z powodu wypadku samochodowego, taką obserwację traktujemy nie jako „niepowodzenie”, ale jak obserwację „uciętą”.

Jako obserwacje „ucięte” traktujemy także pacjentów, którzy z różnych przyczyn zrezygnowali z badania lub utraciliśmy z nimi kontakt.

Jako długość czasu przeżycia dla takich pacjentów podajemy czas od rozpoczęcia terapii do momentu „ucięcia” (przerwania) obserwacji.

Dane odnośnie długości czasów przeżycia (bez wystąpienia zdarzenia niepożądanego) oraz rodzaju obserwacji przedstawiono w tabeli. Kolumna zdarzenia zawiera informacje o rodzaju obserwacji (0 – obserwacja „ucięta”, 1 – „niepowodzenie”).

W kolejnej tabeli przedstawiono wartości prawdopodobieństwa uzyskane dla poszczególnych okresów obserwacji.

Wartość estymatora funkcji przeżycia i-miesięcy od momentu rozpoczęcia badania będzie równa iloczynowi poszczególnych prawdopodobieństw warunkowych poczynając od okresu pierwszego, a kończąc na okresie i-tym.

Interpretując otrzymane wynika może my stwierdzić m.in., że:

• Prawdopodobieństwo przeżycia 1 miesiąca bez wystąpienia żadnego z określonych zdarzeń niepożądanych od momentu rozpoczęcia terapii wynosi 0,95 (95%).
• Prawdopodobieństwo przeżycia 2 miesięcy bez progresji choroby oraz śmierci wynosi 0,9 (90%).
• Szansa przeżycia 12 miesięcy przez pacjentów stosujących analizowaną terapię wynosi 56%. Innymi słowy 56 na 100 pacjentów ma szansę, stosując badany lek,  przeżyć cały roku bez wystąpienia progresji choroby ani spowodowanego nią zgonu.

Otrzymane wyniki możemy przedstawić także za pomocą tzw. krzywej przeżycia:

Analiza przeżycia znajduje zastosowania nie tylko w przypadku badań medycznych, ale również socjodemograficznych, rynku pracy i innych. Możemy ją wykorzystać np. w celu analizy

• Długości czasu od momentu zarejestrowania się jako osoba bezrobotna do momentu znalezienia zatrudnienia – w tym przypadku krzywa przeżycia będzie przedstawiała prawdopodobieństwo pozostawania osobą bezrobotną przez $i$ obserwowanych okresów. W tym przypadku zdarzeniem nie będzie „niepowodzenia” ale „sukces” – znalezienie pracy.
• Ryzyka i ubezpieczeń – w tym przypadku będziemy mieli do czynienia z „niepowodzeniem”, czyli wystąpieniem zdarzenia, które obejmuje dana polisa.